AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA T.L.

Bom, vamos falar agora de uma matéria que muitos das graduações em exatas não gostam, mas que à medida que eu fui aprendendo fui gostando e me interessando muito que é a ALGEBRA LINEAR.
Nesse final de semestre  a matéria vista é AUTOVETORES, AUTOVALORES e DIAGONALIZAÇÃO, baseadas em Tranformações Lineares, na PUC-GOIAS, o livro mais usado é o BOLDRINE, então tentarei explicar a mátéria de uma forma resumida e clara e logo depois resolverei três exercícios complicadinhos, deste mesmo livro com vocês!


AO TRABALHO!


O que é um autovalor? E um autovetor?
É um número que notacionamos   (lâmbida), que pode representar todos os resultados das minha transformações lineares, quando colocado com um vetor que corresponde a ele, que chamamos de autovetor :
veja:


Seja T, uma transformação linear qualquer, temos a seguinte relação:

T(v) = (v)

                 

Na maioria dos exercícios, é pedido para encontrar os autovalores e os autovetores de uma determinada Transformação, 
Para isso, deve se usar o seguinte passo a passo:


1 - Encontra-se a matriz da Transformação, chamamos ela de matriz A.
2 - Encontra se a matriz Identidade (I)de mesma ordem da matriz A. Nota: Matriz identidade é aquela que é composta somentepor números 1(um), na diagonal principal e o restante dos números são todos 0(zeros); Ex:
3 - Multiplica-se  pela matriz (I).
4 - Resolvemosa subtração matricial de (A - I), encontrando uma só matriz, que chamarei de B.
5 - Encontramos o Determinante da matriz B. Não se lembra as regras de determinante? Encontre-as aqui:http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?option=com_content&view=article&id=150%3Adeterminantes&catid=41%3Aconteudosal&Itemid=38
6 - Você agora, tem um polinômio, certo? ok. Iguale ele a zero, para encontrar os possíveis valores de .
7 - Encontrou? ok, Esses são os seus autovalores!
Detalhe, se o seu polinômio é de grau 2 , você deverá encontrar duas raizes, mesmo que elas sejam iguais, se é de grau 3, três raizes, e assim sucessivamente, mas nunca se deve encontrar mais raízes do que o grau do polinômio.


8 - Agora, para cada AUTOVALOR, você irá encontrar um AUTOVETOR que satisfaça a equação A() =  . 
COMO? Substituindo o valor do autovalor que você encontrou nesta mesma equação, porém agora você está a procura das caracteristicas deste vetor e você vai chama-lo de (x,y); ou (x,y,z); ou (x,y,z,w...), dependendo da ordem da sua matriz da transformação.


9 - Escreva o VETOR como matriz (só colocar tudo como uma só coluna), ponha na fórmula:

 A() =  . 

10 - E resolva, as multiplicações, encontrando as caracteristicas das coordenadas que você usou no seu vetor ((x,y) ou (x,y,z) ou (x,y,z,w,....)), depois de encontradas as caracteristicas das coordenadas, você vai substituir cada coordenada pela característica que ela tem, se esforçando ao máximo para deixa-las todas iguais a zero ou em função de uma só coordenada


Por exemplo, se o vetor que você usou na formula é (x,y,z), e você resolvendo o sistema encontrado a partir de
 A() =  . , você encontrou que x=0, que y= -z  agora você vai escrever o se vetor como (0, -z, z). OK?


Bom, esse ainda não é o autovetor, este é um multiplo dele, porque Z pode ser qualquer númro real, então seu autovetor de verdade é ncontrado quando você coloca o z em evidênca: z . (0, -1, 1). E o AUTOVETOR CORRESPONDENTE AO SEU PRIMEIRO AUTOVALOR é (0,-1,1).  OBS: Isto é para o exemplo!

E esse é o caminho básico para encontrarmos autovalores e autovetores.  =)

Breve, postarei alguns exercícios!