- Discípulo de Arquimedes: "Mestre, sois tão sábio; como poderei um dia saber tanto quanto vós?".

- Arquimedes: "Através da força de vontade".

- Discípulo de Arquimedes: "Como assim, mestre?".

Arquimedes afogou a cabeça de seu discípulo dentro d'água e o deixou sufocado por cerca de 40 segundos, depois a soltou.

- Discípulo de Arquimedes: "Mestre, o que fizestes?".

- Arquimedes: "O dia em que quiserdes ter sabedoria com a mesma vontade com que quisestes respirar, então serás um grande sábio".

Bom, estou indo pra Portugal e espero que em Coimbra eu possa aprender e ajudar tanto quanto aqui na PUC. Estou muito feliz e arrumando minhas malas! :D
BOM DIA A TODOS!

/breve mais postagens.

Algebra Linear

Pra você que não tem ideia de como resolver um exercício de MUDANÇA DE BASE, tá aí uma resenha, bem rápida, para esclarecer as dúvidas e mostrar como faz, tanto pro R² como pro R³.

Continha simples - para divertir um pouco! :)

A questão abaixo caiu na prova do ITA do ano passado, portanto aí vai um exemplo para os que almejam estudar nas melhores universidades do país, ok?
Pura matemática.

* Uma mãe é 21 anos mais velha que o filho.
Daqui a 6 anos a mãe terá uma idade 5 vezes maior que o filho.
Pergunta : Onde está o pai agora?

*Há que fazer alguns cálculos para obter a resposta. Por mais incrível que pareça a resposta é dada pela matemática.

PENSE e coloque sua resposta como comentário!

http://nerdanderthal.blogspot.com.br/2012/02/uma-equacao-de-matematica.html 

AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA T.L.

Bom, vamos falar agora de uma matéria que muitos das graduações em exatas não gostam, mas que à medida que eu fui aprendendo fui gostando e me interessando muito que é a ALGEBRA LINEAR.
Nesse final de semestre  a matéria vista é AUTOVETORES, AUTOVALORES e DIAGONALIZAÇÃO, baseadas em Tranformações Lineares, na PUC-GOIAS, o livro mais usado é o BOLDRINE, então tentarei explicar a mátéria de uma forma resumida e clara e logo depois resolverei três exercícios complicadinhos, deste mesmo livro com vocês!


AO TRABALHO!


O que é um autovalor? E um autovetor?
É um número que notacionamos   (lâmbida), que pode representar todos os resultados das minha transformações lineares, quando colocado com um vetor que corresponde a ele, que chamamos de autovetor :
veja:


Seja T, uma transformação linear qualquer, temos a seguinte relação:

T(v) = (v)

                 

Na maioria dos exercícios, é pedido para encontrar os autovalores e os autovetores de uma determinada Transformação, 
Para isso, deve se usar o seguinte passo a passo:


1 - Encontra-se a matriz da Transformação, chamamos ela de matriz A.
2 - Encontra se a matriz Identidade (I)de mesma ordem da matriz A. Nota: Matriz identidade é aquela que é composta somentepor números 1(um), na diagonal principal e o restante dos números são todos 0(zeros); Ex:
3 - Multiplica-se  pela matriz (I).
4 - Resolvemosa subtração matricial de (A - I), encontrando uma só matriz, que chamarei de B.
5 - Encontramos o Determinante da matriz B. Não se lembra as regras de determinante? Encontre-as aqui:http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?option=com_content&view=article&id=150%3Adeterminantes&catid=41%3Aconteudosal&Itemid=38
6 - Você agora, tem um polinômio, certo? ok. Iguale ele a zero, para encontrar os possíveis valores de .
7 - Encontrou? ok, Esses são os seus autovalores!
Detalhe, se o seu polinômio é de grau 2 , você deverá encontrar duas raizes, mesmo que elas sejam iguais, se é de grau 3, três raizes, e assim sucessivamente, mas nunca se deve encontrar mais raízes do que o grau do polinômio.


8 - Agora, para cada AUTOVALOR, você irá encontrar um AUTOVETOR que satisfaça a equação A() =  . 
COMO? Substituindo o valor do autovalor que você encontrou nesta mesma equação, porém agora você está a procura das caracteristicas deste vetor e você vai chama-lo de (x,y); ou (x,y,z); ou (x,y,z,w...), dependendo da ordem da sua matriz da transformação.


9 - Escreva o VETOR como matriz (só colocar tudo como uma só coluna), ponha na fórmula:

 A() =  . 

10 - E resolva, as multiplicações, encontrando as caracteristicas das coordenadas que você usou no seu vetor ((x,y) ou (x,y,z) ou (x,y,z,w,....)), depois de encontradas as caracteristicas das coordenadas, você vai substituir cada coordenada pela característica que ela tem, se esforçando ao máximo para deixa-las todas iguais a zero ou em função de uma só coordenada


Por exemplo, se o vetor que você usou na formula é (x,y,z), e você resolvendo o sistema encontrado a partir de
 A() =  . , você encontrou que x=0, que y= -z  agora você vai escrever o se vetor como (0, -z, z). OK?


Bom, esse ainda não é o autovetor, este é um multiplo dele, porque Z pode ser qualquer númro real, então seu autovetor de verdade é ncontrado quando você coloca o z em evidênca: z . (0, -1, 1). E o AUTOVETOR CORRESPONDENTE AO SEU PRIMEIRO AUTOVALOR é (0,-1,1).  OBS: Isto é para o exemplo!

E esse é o caminho básico para encontrarmos autovalores e autovetores.  =)

Breve, postarei alguns exercícios!

Ainda falando de Geometria

À entrada da academia de Platão lia-se: 

"Que não entre quem não souber Geometria" 

Euclides foi convidado para a escola de Alexandria pelo jovem faraó Ptolomeu I do Egito. Quando este pediu ao mestre uma via mais fácil para estudar Geometria, ele respondeu: 

"Não há estradas régias para chegar à Geometria..." 

Não esquecer que segundo Platão: "Por toda a parte existe Geometria." 

Que Euler concordou, dizendo: "Mas é preciso olhos para vê-la." 

Lagrange concordando afirmou: "E inteligência para compreendê-la." 

E, por fim, Malba Tahan completou: "E alma de artista para admirá-la."

Começando com o "PAI DA GEOMETRIA"

ANTES DE QUALQUER COISA, como este é um blog matemático, acho que é legal relatar um pouquinho sobre histórias matemáticas. E para tratar este assunto escolho falar sobre Euclides, matemático que viveu por volta do ano 300 a.C., que recebe o título de "pai da geometria" - que em minha opinião, é a matéria mais importante no estudo matemático. E no semestre passado aprendi muito com a GEOMETRIA EUCLIDIANA, uma matéria que me encantou... Então vamos lá...

EUCLIDES

Pouco se sabe a respeito de Euclides, mas ele era grego e viveu em Alexandria na primeira metade do séc. III a.C.  Acredita-se que ele era mais novo que os primeiros discípulos de Platão e mais velho que os de Arquimedes. É muito provável que Euclides tenha recebido ensinamentos matemáticos dos primeiros discípulos de Platão. 

Embora não se tenha informações biográficas de Euclides, sabe-se que ele fundou uma escola em Alexandria, no reinado de Ptolomeu I (306 - 283 a.C. ).Conta Prado de Bizâncio (412 - 485 d.C. ) que Ptolomeu perguntava a Euclides se não havia um caminho mais rápido de se aprender geometria e Euclides respondera:

“Não há estrada real para geometria.”

Euclides foi o primeiro diretor do Museu fundado por Ptolomeu I, que guardava a maioria dos tesouros a respeito de estudiosos de todas as épocas, e, graças a isso, pode organizar os resultados obtidos por matemáticos anteriores (Tales, Pitágoras, e outros).Tal organização se acha em sua imortal obra, modestamente intitulada de “Os Elementos” que é um conjunto de 13 livros dedicados ao fundamento e desenvolvimento lógico e sistemático da geometria. 

Os Elementos de Euclides têm uma importância excepcional na história das matemáticas. Com efeito, não apresentam a geometria como um mero agrupamento de dados desconexos, mas antes como um sistema lógico: - As definições, os axiomas ou postulados e os teoremas não aparecem agrupados ao acaso, mas antes expostos numa ordem perfeita.


Algumas definições que aparecem no seu primeiro livro, são as seguintes:

"Ponto é aquilo que não tem partes" 

"Reta é o comprimento sem espessura" 

"Superfície é o que tem unicamente comprimento e largura" 

Essas definições, agora nos parecem um tanto ingênuas e despidas de rigor lógico, mas tenhamos em conta a época em que foram escritas e o pioneirismo de Euclides.Adotando em seguida 10 postulados Euclides deduz seus teoremas. A partir do dia de seu aparecimento "Os Elementos" se tornou a obra clássica da Geometria, e de tal modo foi difundida que chegou a ser muito mais conhecida do que seu próprio autor, a ponto de, na Idade Média, se negar a existência física de Euclides.


E para terminar, não sei de quem é esta frase, mas a encontrei na internet,  e acredito em sua veracidade: 

Euclides é exemplo do "Puro Homem da Ciência", que se dedica à especulação pelo gosto do saber, 

independentemente das suas aplicações materiais. 

Até logo! :)